Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴BF⊥AB，…3分
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF； …6分

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…7分
∵⊙O的半径5，
∴AB=10，…8分
∵∠BAD=∠BCD，…10分
∴cos∠BAD=cos∠BCD==，
∴AD=cos∠BAD•AB=×10=8，
∴AD=8．…12分
分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；
（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=，即可求得线段AD的长．
点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．