Question

如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点．EF与对角线AC交于P，若

AE

EB

=

a

b

，

AF

FD

=

m

n

（a、b、m、n均为正数），则

AP

PC

的值为（　　）

• A．

  am

  an+bm

• B．

  bn

  an+bm

• C．

  am

  am+an+bm

• D．

  bn

  an+bm+bn

Answer 1

分析：过点E作EG∥AD，交AC于点O，利用平行线分线段成比例及三角形相似就可以表示出AO、CO的比值，进而表示出，AP+PO比PC-PO的比值，再表示出EO、BC的比值，从而表示出EO，利用△APF∽△OPE可以表示出PO，代入第一个比例式就可以求出结果．

解答：解：过点E作EG∥AD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EG∥BC，AD=BC，
∴

AO

OC

=

AE

BE

=

a

b

，△AEO∽△ABC，△APF∽△OPE，
∴

AP+PO

PC-PO

=

a

b

，

EO

BC

=

AE

AB

=

a

a+b

，

AF

EO

=

AP

PO

，
∵

AE

EB

=

a

b

，

AF

FD

=

m

n

∴令AE=ax，BE=bx，AF=my，DF=ny，
∴

EO

my+ny

=

a

a+b

，
∴EO=

ay(m+n)

a+b

，
∴

my

ay(m+n) a+b

=

AP

PO

，
∴PO=

AP•(M+N)a

(a+b)m

，
∴

AP+ AP•(M+N)a (a+b)m

PC- AP•(M+N)a (a+b)m

=

a

b

，
∴AP（a+b）bm+AP（m+n）ab+AP（m+n）a²=PC（a+b）am，
∴AP（bm+an+am）（a+b）=PC（a+b）am，
∴

AP

PC

=

am

am+an+bm

，
∴C答案正确，
故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理的运用．