Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 1

分析：（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，在本题中，可证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP，所以为菱形；
（2）S_菱形AEPM=EP•h，S_{平行四边形EFBM}=EF•h，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP=

1

2

EF，所以，P为EF中点时，S_菱形AEPM=

1

2

S_{四边形EFBM}．

解答：（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD⊥BC（三线合一的性质），
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∵EA=EP，
∴四边形AEPM为菱形．

（2）解：P为EF中点时，S_菱形AEPM=

1

2

S_{四边形EFBM}
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，则S_菱形AEPM=EP•EN=

1

2

EF•EN=

1

2

S_{四边形EFBM}．

点评：此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，题型比较新颖．