Question

13．四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分线段BD，∠BAC=90°，AC交BD于O，
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）先用对角线互相平分判断出四边形ABCD是平形四边形，再由∠BAC=90°即可；
（2）先求出AD，再用射影定理求解即可．

解答 （1）∵AB∥CD，
∴∠BQC=∠ACD，
∵AC平分线段BD，
∴BO=DO，
又∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD，
∴AB=CD，四边形ABCD是平形四边形，
又∠BAC=90°
∴四边形ABCD是矩形
（2）由（1）知，四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°
在Rt△ADE中，AE=4，DE=2，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AE⊥BD于E
∴根据射影定理得，AD²=DE×DB，
∴DB=$\frac{A{D}^{2}}{DE}$=$\frac{20}{2}$=10．

点评 此题是矩形的性质和判定，主要考查了全等三角形的性质和判定，射影定理，解本题的关键是四边形ABCD是平形四边形，此题也可以不用射影定理，用判定相似三角形．