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探索问题：（1）比较下列数的大小：

，

．
（2）根据上述规律，可以得出下面的结论：一个真分数

（a、b均为正数），给其分子、分母同加上一个正数m，得

a+m

b+m

，则这两个分数的大小关系是：

a+m

b+m

．
（3）请你用文字叙述（2）中的结论：

；
（4）请你用图形的面积说明（2）中结论的正确性．
（5）请你用已学的其他数学知识说明（2）中结论的正确性．
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决生活中许多与数学有关的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．

分析：（1）对于第一问的分式大小比较，通过通分比较大小；
（2）根据第一问的解找出规律：

＜

a+m

b+m

求解第二问；
（3）用文字描述第二问得到的规律，两正数的比值小于他们同时加上一个正数的比值；
（4）分别以a，b为边长作矩形，又延长a，b同样长m，得三矩形面积分别为：ab，am，bm，然后根据长方形的面积比较两数大小；
（5）利用通分比较两式的大小；
（6）利用生活中的糖水的浓度问题来比较两式大小．

解答：解：（1）通过分母通分得到分母相同的分式，然后比较分子大小得出结果．
∴

＜

，

＜

，

＜

；

（2）有第一问的结果可得出规律：分子分母同时加上一个正数比值变大．
所以：

＜

a+m

b+m

；

（3）两正数的比值小于他们同时加上一个正数的比值；

（4）如图

矩形BEFG和矩形ABCD，
∵a＜b，
∴am＜bm，
∴am+ab＜bm+ab，
即a（m+b）＜b（m+a），
∴

＜

a+m

b+m

；

（5）将两分式统分得分母为b（b+m），分子分别为a（b+m），
b（a+m）分子相减得（a-b）m，
由于

是真分式，
则a＜b，
所以（a-b）m小于0，即

＜

a+m

b+m

；

（6）一杯糖水共b克，里面含有a克糖，糖的浓度为

，然后往里放m克糖，
糖的浓度为：

a+m

b+m

，
放入糖后糖水变的更甜了，
所以加入糖后糖的浓度变大了，
所以

＜

a+m

b+m

．

点评：此题是一个开放性试题，对于学生的要求比较高，首先根据第一问得出规律，然后用不同的方法证明次推论的正确性．本题意在考查用不同的方式比较两分式的大小，考查学生的发散思维．

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科目：初中数学 来源： 题型：

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．
探索问题：
（1）比较下列各组数据的大小：
①

＜

2+1

3+1

，②

＜

2+2

3+2

，③

＜

2+3

3+3

，④

＜

2+4

3+4

，…．
（2）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；并用已学的数学知识说明你发现结论的正确性．
（3）试用（2）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

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科目：初中数学 来源：2011-2012学年广东盐步中学八年级下学期月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征。
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的： 2²×2³＝2⁵，2³×2⁴＝2⁷，2²×2⁶＝2⁸，…
2^m×2ⁿ＝2^m⁺ⁿ，…a^m×aⁿ＝a^m⁺ⁿ(m、n都是正整数)。探索问题：
（1）比较下列各组数据的大小：
① ， ② ， ③ ， ④ ，…。
(2)请你根据上面的材料归纳出a、b、c(a＞b＞0，c＞0)之间的一个数学关系式；并用已学的数学知识说明你发现结论的正确性.
(3)试用(2)中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖(仍不饱和)，则糖水更甜了”；