Question

（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC=3cm、AB=4cm、AA₁=5cm，盒子的内部顶点C₁处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C₁处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C₁处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．
（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，AA₁=14cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C₁以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C₁C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？

Answer 1

解：根据长方形的对称性，昆虫乙从顶点A沿内壁爬行到昆虫甲C₁处的最短路程有3种可能，
（1）如图①中，图a，A→E₁→C₁，
AE₁C₁==cm，
图b，A→E₂→C₁，
AE₂C₁==cm，
图c，A→E₃→C₁，
AE₃C₁==cm，
∵AE₁C₁＞AE₂C₁＞AE₃C₁，
∴最短路程为cm，
∴最短路径为A→E₃→C₁，
画法：由△ABE₃∽△ACC₁，
得出：=，
∴=，
∴BE₃=2cm，即取BE₃=2cm，连接AE₃，E₃C₁即可．

（2）因为昆虫是在侧面上爬行，可以看出，下面两图的最短路径相等，
设昆虫甲从顶点C₁沿棱C₁C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，
爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
（3x）²=12²+（14-x）²，
∵x＞0，解得：x=5．
答：昆虫乙至少需要5秒钟才能捕捉到昆虫甲．
分析：（1）根据图a，A→E₁→C₁，图b，A→E₂→C₁，以及图c，A→E₃→C₁，利用勾股定理分别求出，即可得出最短路径，画法根据△ABE₃∽△ACC₁，得出BE₃的长度，连接AE₃，E₃C₁即可．
（2）利用昆虫是在侧面上爬行，两种爬行路线的最短路径相等，利用勾股定理求出即可．
点评：此题主要考查了平面展开-最短路径问题以及三角形的相似等知识，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，最短路径问题利用平面展开图分别求出是解决问题的关键．