Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求点C的坐标；
（2）求此抛物线的函数表达式，并在所给坐标系中画出该抛物线；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数y=kx-3求点C的坐标；
（2）利用cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解析式，并画出图象；
（3）分两种情况讨论：①N为直角顶点时，利用直线MC和直线DN的解析式求出两个点P的坐标；②C为直角顶点时，利用两个等腰直角三角形求出点A就是符合条件的点P．

解答 解：（1）在y=kx-3中，当x=0时，y=-3，
∴点C（0，-3），
（2）∵点C在y轴的负半轴，结合题意知，点B在x轴的右半轴，连接BC，
在Rt△BOC中，∵cos∠BCO=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{3}{BC}$，
又∵cos∠BCO=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴BC=$\sqrt{10}$，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{3}^{2}}$=1，
∴B（1，0），
∵点B（1，0）、C（0，-3）在抛物线y=a（x+1）²+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
抛物线如图1所示；
（3）如图2，存在，
假设存在符合条件的点P，则可能有下面两种情况：
①若PN为另一条直角边，则点N为直角顶点，过点N作直线MN的垂线，交y轴于点D，交抛物线于点P，
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1，
∴直线MC的函数表达式为y=x-3，
当y=0时得x=3，∴N（3，0），
∵OC=ON=3，
∴∠CNO=45°，
∴∠DNO=90°-45°=45°，
∴OD=ON=3，∴D（0，3），
设直线ND的函数表达式为y=mx+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3，
设P（x，-x+3），代入抛物线的解析式得：
-x+3=x²+2x-3，
∴x²+3x-6=0，
∴x₁=$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，x${x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，
${y}_{1}=\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，${y}_{2}=\frac{9+\sqrt{33}}{2}$
∴满足条件的点为P₁（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}，\frac{9-\sqrt{33}}{2}$），P₂（$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$）；
②若PC是另一直角边，则点C为直角顶点，过点C作直线CN的垂线，交抛物线于点P，
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标是（-3，0），
连接AC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
又∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点P，
∴P₃（-3，0），
综上所述：在抛物线上存在满足条件的点有3个，分别是：
P₁（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$），P₂（$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$），P₃（-3，0）．

点评 本题前两问比较简单，结合图象考查了二次函数的性质，并与一次函数和三角函数有机地结合；第三问较为复杂，有分类讨论的思想，考查了利用待定系数法求函数的解析式，还考查了利用函数求与两坐标轴的交点；要注意利用函数的解析式来表示点的坐标，综合性较强．