Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系：

x	…	60	65	70	75	80	…
y	…	60	55	50	45	40	…

（1）求销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；并求出销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

Answer 1

解：（1）设售量y（件）与销售单价x（元）的一次函数关系为y=kx+b（k≠0），
把（60，60）、（80，40）代入，
得，
解得，
∴销售量y与销售单价x的函数关系式y=-x+120；
∵成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即不高于60（1+45%），
∴60≤x≤87；
（2）W=（x-60）•y
=（x-60）（-x+120）
=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；
W=-（x-90）²+900，
∵a=-1＜0，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
∴x=87时，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891，
即销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；

（3）令W=500，则-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，
∵当x＜90时，W随x的增大而增大，
∴当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．
分析：（1）先利用待定系数法求出销售量y与销售单价x的函数关系式y=-x+120；由于成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，可得到x的取值范围为60≤x≤87；
（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到W=（x-60）•y，把y=-x+120代入得到W=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；然后配成顶点式为W=-（x-90）²+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，W随x的增大而增大，则x=87时，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891；
（3）令W=500，则-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而当x＜90时，W随x的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．
点评：本题考查了二次函数的应用：先根据实际问题得到二次函数的解析式y=ax²+bx+c（a≠0），再得到顶点式y=a（x+）²+，当a＜0，二次函数有最大值，即x=-时，y的最大值为，然后利用二次函数的性质解决有关问题．也考查了待定系数法求函数的解析式以及一次函数的应用．