Question

已知：矩形纸片ABCD，AB=2，BC=3。
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。
探究：（1）如图①，若点B与A重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图②，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。

Answer 1

解：（1）全等。证明如下：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A′，∠B=∠A′DF=90°，AB=CD，
∴∠A′=∠C=90°，A'D=CD，
∵∠A′DE+∠EDF=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A′DE=∠CDF，
∴△EDA′≌△FDC（ASA）；
（2）∵∠DGB′+∠DB′G=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB′=∠CB′F，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△FCB′∽△B′DG，
设FC=x，
则B′F=3-x，B′C=DC=1，
在Rt△B′CF中FC²+B′C²=FB′²，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴，
∵△FCB′∽△B′DG，
∴。