Question

已知：如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC、BE交于F．

求证：CF²=CA·AF．

 

Answer 1

答案：
解析：

作五边形ABCDE的外接圆． ∵　∠BAC=∠ACB=∠ABF，∴　△ABF∽△ACB． ∴　AF：AB=AB：AC．∴　AB2=CA·AF． 在△CBF中，∠BCF=36°，∠CBF=72°． ∴　∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBF)=72° ∴　CF=CB．又AB=CB，∴　CF=AB．∴　CF2=CA·AF．

提示：

欲证CF2=CA·AF，需证．AF、CA分别是△ABF和△ACB的边，只要证明△ABF∽△ACB，便可得含AC、AF的表达式，而△ABF和△ACB有公共角∠FAB，因此只要∠ABE=∠ACB即可．由条件可知ABCDE为正五边形，所以存在一个外接圆，故作它的外接圆，有∠ABE=∠ACB．所以△ABF∽△ACB，则有AB2=CA·AF．因此只需证出CF=AB即可． 由于正多边形都有外接圆，故作正五边形的外接圆．这样就为证题提供了宝贵的外在条件．