Question

在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l．求证：EF平分∠CFD．

Answer 1

证明：如图，设AD与BC相交于点P，用O表示半圆T的圆心，
过P作PH丄l于H，连OD，OC，OP．由题意知Rt△OAD∽Rt△PAH，
于是有．
类似地，Rt△OCB∽Rt△PHB，
则有．
由CO=DO，有，从而．
由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC，BD，PH相交于一点，即E在PH上，点H与F重合．
因∠ODP=∠OCP=90°，所以O，D，C，P四点共圆，直径为OP．
又∠PFC=90°，从而推得点F也在这个圆上，
因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，
所以EF平分∠CFD．
分析：设AD与BC相交于点P，用O表示半圆T的圆心．过P作PH丄l于H，连OD，OC，OP．由题意知Rt△OAD∽Rt△PAH，同理可知Rt△OCB∽Rt△PHB，即可证明而，即可求证∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，即可求证EF平分∠CFD，即可解题．
点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了切线的性质，本题中求证Rt△OAD∽Rt△PAH和Rt△OCB∽Rt△PHB是解题的关键．