Question

如果（1-3x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，那么|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值为

1023

．

Answer 1

分析：本题有两种解法，第一种解法是因为a₀＞0，a₂＞0，a₄＞0，a₁＜0，a₃＜0，a₅＜0只需将x=-1代入即可，第二种解法是将（1-3x）⁵分解为多项式的形式．得到a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅．

解答：解：解法一：∵（1-3x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵
其中a₀＞0，a₂＞0，a₄＞0，a₁＜0，a₃＜0，a₅＜0
∴|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅
将x=-1代入原等式两端得
[1-3×（-1）]⁵=a₀+a₁•（-1）+a₂•（-1）²+a₃•（-1）³+a₄•（-1）⁴+a₅•（-1）⁵
即1024=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅、
∴|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=1024-a₀=1023
解法二：将（1-3x）⁵用乘法分式逐项展开，得
（1-3x）⁵=1-15x+90x²-270x³+405x⁴-243x⁵
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=90+270+405+243=1023
故答案为：1023．

点评：本题考查了整式等式的分解和转化思想的问题，因为（1-3x）⁵未知项x的系数为-3，则分解后系数的符号与x的几次方有关．