Question

（2012•顺义区二模）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，sin

1

2

∠APC=

1

3

，求PC的长及点C到PA的距离．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由BC∥OP，∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠3，得到∠2=∠4，易证得△POC≌△POA，则∠PCO=∠PAO，由PA切⊙O于点A，根据切线的性质得到∠PAO=90°，则有∠PCO=90°，根据切线的判定得到PC与⊙O相切；
（2）连AC、过点C作CD⊥PA于D，由△POC≌△POA，则∠5=∠6=

1

2

∠APC，于是有sin∠5=sin

1

2

∠APC=

1

3

，利用互余公式得到cos∠2=sin∠5=

1

3

，则cos∠3=

1

3

，由于AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，然后利用余弦的定义可计算出AB=6，利用勾股定理可计算出AC=4

2

，且OC=3，在Rt△POC中，OC=3，sin∠5=

1

3

=

OC

OP

，可计算出OP，然后根据勾股定理可计算出PC的长；在Rt△CAD中，利用cos∠8=

AD

AC

=

AD

4 2

=

1

3

可计算得到AD，然后再根据勾股定理即可计算出CD的长．

解答：解：（1）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连接OC，
∵BC∥OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
又∵OC=OA，OP=OP，
∴△POC≌△POA，
∴∠PCO=∠PAO．
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）连AC，如图，
∵△POC≌△POA，
∴∠5=∠6=

1

2

∠APC，
∴sin∠5=sin

1

2

∠APC=

1

3

，
∵∠PCO=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∴cos∠2=sin∠5=

1

3

，
∵∠3=∠1=∠2，
∴cos∠3=

1

3

，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴cos∠3=

BC

AB

=

2

AB

=

1

3

，
∴AB=6，
∴OA=OB=OC=3，AC=

AB2-BC2

=4

2

，
在Rt△POC中，OC=3，sin∠5=

1

3

=

OC

OP

，
∴OP=9，
∴PC=

OP2-OC2

=6

2

，
过点C作CD⊥PA于D，
∵∠ACB=∠PAO=90°，
∴∠3+∠7=90°，∠7+∠8=90°．
∴∠3=∠8．
∴cos∠8=cos∠3=

1

3

，
在Rt△CAD中，cos∠8=

AD

AC

=

AD

4 2

=

1

3

，
∴AD=

4 2

3

，
∴CD=

AC2-AD2

=

16

3

，
即点C到PA的距离为

16

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点且垂直于半径的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直线；直角所对的圆周角为直角；常用三角函数和勾股定理解决圆的计算问题．