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如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C.
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;
(2)将⊙C沿x轴翻折后,得到⊙C′,求证:直线AC是⊙C′的切线;
(3)若M点是⊙C的优弧
ABO
(不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.
(1)如图,由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知,A(-8,0),B(0,8)
∵抛物线过A、O两点
∴抛物线的对称点为x=-4
又∵抛物线的对称点在直线AB上,
∴当x=-4时,y=4
∴抛物线的顶点C(-4,4)
4=16a-4b
0=64a-8b

解得
a=-
1
4
b=-2

∴抛物线的解析式为y=-
1
4
x2-2x;

(2)连接CC′、C′A
∵C、C′关于x轴对称,设CC′交x轴于D,则CD⊥x轴,且CD=4,AD=4
△ACD为等腰直角三角形
∴△AC′D也为等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A
∴AC是⊙C′的切线;

(3)∵M点是⊙O的优弧
ABO
上的一点,
∴∠AMO=∠ABO=45°,
∴∠POA=∠AMO=45°
当P点在x轴上方的抛物线上时,
设P(x,y),则y=-x,
又∵y=-
1
4
x2-2x
y=-x
y=-
1
4
x2-2x

解得
x1=0
y1=0
x2=-4
y2=4

此时P点坐标为(-4,4)当P点在x轴下方的抛物线时,设P(x,y)
则y=x,又∵y=-
1
4
x2
-2x
y=x
y=-
1
4
x2-2x

解得
x1=0
y1=0
x2=-12
y2=-12

此时P点的坐标为(-12,-12)
综上所述,满足条件的P点坐标为(-4,4)或(-12,-12)
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1
2
x2
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k
x
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第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.

探究:
(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.
(3)如图(5),将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在DC边上的点A′处,x轴垂直平分DA,直线EF的表达式为y=kx-k (k<0)
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1
8
x2
有几个公共点?
②当EF与抛物线只有一个公共点时,设A′(x,y),求
x
y
的值.

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