Question

15．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点（不与点A，B重合），过点P作PF⊥PD，交边BC于点F，连接DF．
（1）求证：△ADP∽△BPF；
（2）当$\frac{AP}{AB}$的值等于多少时，△DPF～PBF？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和直角三角形的性质求出∠ADP=∠FPB，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出AP=BP，即可得出结果．

解答 解：（1）证明：∵PF⊥PD，
∴∠DPF=90°，
∴∠APD+∠FPB=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠FPB．
∴△ADP∽△BPF；
（2）解：当$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$时，△DPF～PBF；理由如下：
由（1）得：△ADP∽△BPF，
∴$\frac{PD}{PF}=\frac{AP}{BF}$，
∵∠DPF=90°，
当$\frac{PD}{PF}=\frac{PB}{BF}$时，△DPF～PBF，
则$\frac{AP}{BF}=\frac{BP}{BF}$，
∴AP=BP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．