Question

5．如图1，已知四边形ABCD、AEFG都是正方形，B、D分别在AE、AC边上，AE=7
（1）如图2，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转x^°（0＜x＜90）时，求证：BE=DG．
（2）如图3，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°时，延长EB交DG于点M，与AG交点N，求证：EM⊥DG；
（3）在（2）的条件下，当AB=3$\sqrt{2}$时，求线段EM的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AB=AD，AE=AG，在根据旋转的性质得∠BAE=∠DAG=θ，然后根据“SAS”判断△BAE≌△DAG，则BE=DG；
（2）由BAE≌△DAG得到∠AEB=∠AGD，而∠ANE=∠GNM，根据三角形内角和定理即可得到∠GMN=∠EAN=90°，则EM⊥DG；
（3）连结BD交AG于点H，连结GB，如答图2，由于正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°，BD与AC互相垂直平分，且AC在AG上，由AB=3$\sqrt{2}$可得到AH=DH=3，所以GH=7-3=4，然后根据勾股定理可计算出DG=5，则BE=5，解着利用S_△DBG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$DG•BM，可计算出BM，所以EM=BM+BE．

解答 （1）证明：如答图1，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转x^°（0＜x＜90），
∴∠BAE=∠DAG=x，
在△BAE和△DAG，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；

（2）证明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠AEB=∠AGD，
又∵∠ANE=∠GNM，
∴∠GMN=∠EAN=90°，
∴EM⊥DG；

（3）解：连结BD交AG于点H，连结GB，如答图2，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°，
∴BD与AC互相垂直平分，且AC在AG上，
∵AB=3$\sqrt{2}$
∴AH=DH=3，
∴GH=7-3=4，
在Rt△GHD中，DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
∴BE=5，
∵S_△DBG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$DG•BM，
∴BM=$\frac{BD•GH}{DG}$=$\frac{6×4}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴EM=BM+BE=$\frac{24}{5}$+5=9.8．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．