Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P．
①求该抛物线的解析式和A点的坐标；
②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；
③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：①确定B，C的坐标，代入抛物线y=x²﹢bx﹢c得到b，c的值．
②△BCP和△OCA的三条边都可求出，利用三边对应比证明．
③△ABC的∠B等于45°，确定Q点在B点左边．通过对应边的比求出QB，得到Q点坐标．

解答：解：①y=-x+3，
x=0时，y=3，
y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x²+bx+c得：

0=9+3b+c 3=c

，
解得：b=-4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x²-4x+3，（2分）
当y=0时，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
即A的坐标是（1，0）．

②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=3

2

，CP=2

5

，BP=

2

，AC=

10

，OC=3，OA=1，
∴

AC

CP

=

OC

CB

=

OA

BP

=

2

2

，
∴△BCP∽△OCA

③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，
若

AB

BC

=

BP

BQ

，
即

2

3 2

=

2

BQ

可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若

AB

BC

=

BQ

BP

，即

2

3 2

=

BQ

2

，
解得BQ=

2

3

，点Q的坐标为（

7

3

，0）．（9分）

点评：①点在图象上那么它的坐标满足图象的解析式，在用待定系数法前要确定点的坐标．②判断两个三角形相似看条件选择定理．③对于没有确定对应关系的相似三角形要分类讨论．