Question

19．已知：如图，抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）．
（1）试确定该抛物线的函数表达式；
（2）已知点C是该抛物线的顶点，求△OBC的面积；
（3）若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值，故此可得到抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求抛物线的顶点C的坐标，然后依据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据垂线段最短可知，当OP⊥BC，即OP是BC边上的高时，OP的值最小．利用两点间的距离公式求出BC，再根据三角形的面积公式求出OP即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{9a+3+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$．

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，2），
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（3）当OP是BC边上的高时，OP的值最小．
∵B（3，0），C（1，2），
∴BC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OP=3，
∴OP=$\frac{6}{BC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即OP的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，垂线的性质，两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．