精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为C（0，-2），
∴b=0，c=-2；
∵y=ax²+bx+c过点A（-1，0），
∴0=a+0-2，a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x²-2．
当y=0时，2x²-2=0，
解得x=±1，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得n= $\text{[math]}$ ．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m， $\text{[math]}$ ）或（m， $\text{[math]}$ ）；
②若△OCB∽△DPB，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得n=2m-2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴（m，2m-2）或（m，2-2m）舍
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m， $\text{[math]}$ ），（m， $\text{[math]}$ ），（m，2m-2）或（m，2-2m）．

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
$\text{[math]}$ ，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m， $\text{[math]}$ ）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²-2），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m-1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²-2），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．
分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，-2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为-2，即b=0，c=-2，再将A（-1，0）代入y=ax²+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m， $\text{[math]}$ ）；②P（m，2（m-1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，二次函数的图象经过点D（0，

），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数解析式．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
（3）从第几个月起公司开始盈利？该月公司所获利润是多少万元？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b

＞

0（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当x满足

x＜-4或x＞2

时，ax²+bx+c＞0；
（3）当x满足

x＜-1

时，ax²+bx+c的值随x增大而减小．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学