Question

已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线L解析式为y=kx+b，
将A（6，0）和B（0，12）代入，得：
，
解得：，
∴直线L解析式为y=-2x+12；

（2）解方程组：，
得：，
∴点C的坐标为（4，4），
∴S_△COP=x×4=2x；
∵PD∥l，
∴=，
而=，
∴=，
即=，
∴△PCD的面积S与x的函数关系式为：
S=-x²+2x，
∵S=-（x-3）²+3，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是3．

（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形，
∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），
根据P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A时分别求出即可，
当P₁C=CA时，P₁（2，0），
当P₂A=AC时，P₂（6-2，0），
当P₃A=AC时，P₃（6+2，0），
当P₄C=P₄A时，P₄（1，0），
∴点P的坐标分别为：
P₁（2，0），P₂（6-2，0），P₃（6+2，0），P₄（1，0）．
分析：（1）利用待定系数法将A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；
（2）将两函数解析式联立，得出点C的坐标，再利用平行线的性质，进而求出=，再利用二次函数最值求出即可；
（3）分别根据P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A时结合图形求出即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及三角形的相似的性质与判定和二次函数的最值、勾股定理等知识，题目综合性较强，相似经常与函数综合出现，利用数形结合得出是解决问题的关键．