Question

如图，BD是⊙O的直径，P是圆外一点，PB、PD分别交⊙O于A、C两点．
（1）找出图中的一对相似三角形，并证明；
（2）延长PA到点F，连接FD，若AB=AF=AD，求证：FD是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若BC=1，CD=，试求四边形ABCD的周长．

Answer 1

（1）△PBC∽△PDA．
证明：∵ABDC是圆内接四边形，
∴∠PBC=∠ADC，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA；

（2）证明：∵BA=AF，
∴AD是△BDF的中线，
又∵AD=AB=AF，即AD=BF，
∴△BDF是直角三角形，∠BDF=90°，
∴BD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；

（3）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°
∴直角△BCD中，BD===3，
∵直角△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BD=，
则四边形ABCD的周长是：1+2++=1+5．
分析：（1）根据ABDC是圆内接四边形，依据圆内接四边形的性质，即可证得△PBC∽△PDA；
（2）易证AD是△BDF中BF边上的中线，且等于这一边的一半，即可证得BD与DF垂直，根据切线的判定定理即可证得；
（3）在直角△BCD中，利用勾股定理即可求得BD的长，△ABD是等腰直角三角形，即可求得AB、AD的长，则周长即可求得．
点评：本题考查了圆周角定义、勾股定理、以及切线的判定定理，证明切线的问题一般的解决方法是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．