Question

如图①，在平面直角坐标系中，点A从点（1，0）出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，在运动过程中，以OA为一边作菱形OABC，使B、C在第一象限，且∠AOC=60°，连接AC、OB；同时点M从原点O出发，以每秒

3

个单位长度的速度沿对角线OB向点B运动，若以点M为圆心，MA的长为半径画圆，设运动时间为t秒．
（1）当t=1时，判断点O与⊙M的位置关系，并说明理由．
（2）当⊙M与OC边相切时，求t的值．
（3）随着t的变化，⊙M和菱形OABC四边的公共点个数也在变化，请直接写出公共点个数与t的大小之间的对应关系．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形后，由M点和A点的运动速度，结合运动时间t，即可推出OM和OA的长度，然后根据菱形的性质推出HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，根据OH=OM，即可推出M点与H点重合，通过比较MH和OM的长度，即可推出结果，（2）根据题意画出图形后，连接MC，MA，由菱形的性质，首先求证△COM≌△AOM，推出MA=MC，即⊙M过C点，若⊙M与OC相切，设切点为H点，连接MH，根据切线的性质推出OH⊥MH后，由OC与⊙M的公共点只有一个，即可推出H点与C点重合，然后，根据OM=

3

t，OA=1+t，推出OC=

3

2

t，再根据特殊角的三角函数列出方程，即可求出t，（3）①当t=

1

2

时，OM=MA=MC，所以，⊙M与菱形由三个交点，当t=2时，根据（2）所推出的结论，可求出MB的长度，继而推出⊙MM与菱形由3个交点；②根据①的结论，当0≤t＜

1

2

时，圆与OC，OA边由交点，当t＞2时，圆与BC、BA边有交点；③当

1

2

＜t＜2时，圆除过A点和C点外，与菱形的各边均又有一个交点，共6个交点．

解答：解：（1）如图①，
∵t=1，M点的运动速度为每秒

3

个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
∴OM=

3

，OA=1+1=2，若⊙M与OC相切，设切点为H点，
∴OH⊥MH，
∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
∴OA=OC=AB=BC=2，∠COH=∠AOH=∠ABO=∠CBO=30°，
∴HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，
∴OH=

3

，即M与H重合，
∴HA=MH=1，
∵1＜

3

，
∴MH＜OM，
∴点O在⊙M外，


（2）如图②，连接MC，MA，
∵菱形AOCB，
∴在△COM和△AOM中，

OC=OA ∠COM=∠AOM OM=OM

∴△COM≌△AOM（SAS），
∴MA=MC，
即⊙M过C点，
若⊙M与OC相切，设切点为H点，连接MH，
∴OH⊥MH，
∵OC与⊙M的公共点只有一个，
∴H点与C点重合，MC⊥OC，
∵M点的运动速度为每秒

3

个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
∴OM=

3

t，OA=1+t，
∵∠COM=30°，
∴CO=

3

2

OM=

3

2

t，
∵OA=OC，
∴

3

2

t=1+t，
∴t=2．


（3）①当t=

1

2

时，
∴OM=

3

2

，OA=

3

2

，
∵∠BOA=30°，AC垂直平分OB，
∴AH=

3

4

，OH=

3 3

4

，∠OAB=120°，
∴AM=

3

2

，
∴AM=OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠MAB=90°，
同理∠MCB=90°，
∵△COM≌△AOM，
∴AM=CM，
∴⊙M与OC、OA相切，
∴⊙M经过菱形OABC的顶点O，C，A三点，
当t=2时，
∵OM=2

3

，OA=3，
∴OH=

3 3

2

，AH=

3

2

，
∴OB=3

3

，
∴MB=

3

，
∴HM=

3

2

，
∴AM=

3

，
∴∠OAM=90°，
同理∠OCM=90°，
∵MB=MA=MA，
∴⊙M与BC、BA相切于点C、点A，
∴⊙M经过点B、C、A三点；
∴当t=2或者t=

1

2

时，⊙M与菱形由三个交点；
②当t=0时，
∴M点和O点重合，MA=OB，
∵MA=MA，
∴⊙M经过A，C两点，
当0＜t＜

1

2

时，
∵OM＜AM，
∴⊙M经过A，C两点，点O在⊙M内，
当t＞2时，
则OM＞2AM，
∴BM＜AM，
∴⊙M经过A，C两点，点B在⊙M内，
∴当0≤t＜

1

2

时，⊙M与菱形的交点又2个；
③当

1

2

＜t，
则OM＞AM，
当t＜2时，
则OM＜2AM，BM＞AM，
∵AB=OA，M在OB上运用，
∴OA＞AM，AB＞AM，且OC＞AM，BC＞AM，
∴⊙M经过A，C点且与OC，OA，OB，BD都有交点，
∴当

1

2

＜t＜2时，⊙M与菱形的交点个数为6个．

点评：本题主要考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、切线的判定与性质、点与圆的位置关系，关键在于根据题意正确的画出图形，运用数形结合的思想进行分析．