Question

（2007•中山区二模）（1）如图1，点B、M、C在同一直线上，以BM、BC为一边，在直线BC的两侧作等边△ABC和等边△BMN，直线AM、CN交于点O，则∠AOC=

60

度（直接写出答案）；
（2）如图2，把△BMN绕点B逆时针旋转任意角度，∠AOC的度数是否变化，验证你的结论；
（3）如图3，正方形ABCD和正方形BMNE有公共顶点B，把正方形BMNE绕点B旋转任意角度，AM、CN交于点O，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△BMN是等边三角形，易证得△ABM≌△CBN，即可得∠BAM=∠BCN，继而可证得△ABM∽△COM，则可求得∠AOC=∠ABM=60°；
（2）由△ABC和△BMN是等边三角形，易证得△ABM≌△CBN，即可得∠BAM=∠BCN，继而可证得△ABM∽△COM，则可求得∠AOC=∠ABM=60°；
（3）由正方形ABCD和正方形BMNE中，∠ABC=∠EBM=90°，AB=BC，BM=BE，易证得△ABM≌△CBE，继而可得△ABF∽△CFO，则可求得∠AOC的度数．

解答：解：（1）∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴AB=BC，BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，
∵在△ABM和△CBN中，

AB=CB ∠ABC=∠CBN BM=BN

，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠BCN，
∵∠AMB=∠CMO，
∴△ABM∽△COM，
∴∠AOC=∠ABM=60°；
故答案为：60；

（2）∠AOC的度数不变，仍为60°．
理由：∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴AB=BC，BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，
∴∠ABC+∠MBC=∠MBN+∠MBC，
即∠CBN=∠ABM，
∵在△ABM和△CBN中，

AB=CB ∠ABM=∠CBN BM=BN

，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠BCN，
又∵∠AEB=∠CEO，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EOC=∠ABC=60°；

（3）∵正方形ABCD和正方形BMNE中，∠ABC=∠EBM=90°，AB=BC，BM=BE，
∴∠ABC+∠CBM=∠EBM+∠CBM，
即∠ABM=∠CBE，
∵在△ABM和△CBE中，

AB=CB ∠ABM=∠CBE BM=BE

，
∴△ABM≌△CBE（SAS），
∴∠BAM=∠BCE，
又∵∠AFB=∠CFO，
∴△ABF∽△CFO，
∴∠AOC=∠ABC=90°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．