Question

9．如图①，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A，B分别在坐标轴上
（1）当点C的横坐标为5时，求B点的坐标．
（2）在等腰Rt△ABC运动过程中，位置如图②所示，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于M，过C作CD⊥x轴于D，求$\frac{CD}{AM}$的值．
（3）若A的坐标为（-4，0），点B在y轴正半轴上运动时，如图③分别以OB，AB为边在第一，第二象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，连EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，有结论①PB的长为定值和结论②EF-EB的值为定值，其中有且只有一个结论正确，请选择，并求其值．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB=BC=a，根据勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到$\frac{BM}{MC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a，AM=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{CM}$，即可求得CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，再除以AM解答即可，
（3）结论①PB的长为定值和结论正确；作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=$\frac{1}{2}$AO，即可解题．

解答 解：（1）如图1，

作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠BDC=90°}\\{∠CBD=∠BAO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BO=CD=5，
∴B点坐标（0，5）；

（2）设AB=BC=a，
则AC=$\sqrt{2}$a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即MC=$\sqrt{2}$BM，
∵BC=BM+MC=a，
∴BM+$\sqrt{2}$BM=a，
解得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a
则AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，
∵∠ABM=∠CDM=90°
且∠AMB=∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{CM}$，
即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，
∴$\frac{CD}{AM}$=$\frac{a（2-\sqrt{2}）a}{（\sqrt{4-2\sqrt{2}}a）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；

（3）结论①PB的长为定值和结论正确；
如图3，

作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BGE=90°}\\{∠BAO=∠EBG}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPG=∠FPB}\\{∠EGP=∠FBP=90°}\\{EG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB=PG，
∴PB=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AO=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．