Question

17．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B=180°，BC=4，AC=5，求AB的长．
小明的思路：
如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上截取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC∠ACB=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下面问题：
（1）图2中AE=4.5；AB=6．
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．如图3，当3∠A+2∠B=180°时，用含a，c的式子表示b（要求写出解答过程）．

Answer 1

分析 （1）找出辅助线，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC∠ACB=180°，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形，得出CD=BC=4，从而求得AD，进一步求得AE和CE，然后根据勾股定理求得BE，进而求得AB．
（2）过点E作BE⊥AC交AC的延长线于点E，在AC的延长线上截取点D，使得DE=AE，连接BD，得出∠A=∠D，则AB=BD=c，根据3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC∠ACB=180°以及三角形外角的性质，得出∠CBD=∠BCD，则BD=CD=c，得出AD=b+c，进而得出AE=DE=$\frac{b+c}{2}$，CE=$\frac{c-b}{2}$，根据勾股定理得出BE²=a²-（$\frac{c-b}{2}$）²=c-（$\frac{c+b}{2}$）²，即可得出b=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$．

解答 解：（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上截取点D，使得DE=AE，连接BD，
∵BE⊥AD，DE=AE，
∴AB=BD，
∴∠A=∠D，
∵3∠A+∠ABC=180°，∠A+∠ABC∠ACB=180°，
∴∠BCA=2∠A，
∴∠BCA=2∠D，
∵∠BCA=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=∠D，
∴BC=CD，
∴AD=AC+CD=AC+BC=5+4=9，
∴AE=4.5，
∵CE=AC-AE=5-4.5=0.5，
∴BE²=BC²-CE²=15.75，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{4．{5}^{2}+15.75}$=6．
故答案为4.5，6；
（2）如图，过点E作BE⊥AC交AC的延长线于点E，在AC的延长线上截取点D，使得DE=AE，连接BD，
∴∠A=∠D，且AB=BD=c，
∵3∠A+2∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ACB=2∠A+∠ABC，
∵∠ACB=∠CBD+∠D，
∴∠CBD=∠A+∠ABC=∠BCD，
∴BD=CD=c，
∴AE=DE=$\frac{b+c}{2}$，CE=$\frac{c-b}{2}$，
∴BE²=a²-（$\frac{c-b}{2}$）²=c²-（$\frac{c+b}{2}$）²，
化简得：b=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．