Question

如图1，正方形ABCD中，点H在BC上，连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）判断DH、FG的数量关系，并说明理由；
（3）在图1中，延长FG与BC交于点P，连接DF、DP（如图2），试探究DF与DP的关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD
∴∠1=∠3，∠2+∠4=90°
∵DH⊥FG，
∴∠DEG=90°
∴∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2．

（2）DH、FG的数量关系是：DH=FG
理由：过点F作FP垂直于DC，垂足为P，
∴∠FPD=90°，
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，
∴四边形AFPD是矩形，
∴AD=FP，
∴∠2=∠3，∠FPG=∠BCD，FP=CD，
∴△FPG≌△DCH，
∴FG=DH．
（3）如图2，过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T．
∵点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．
∴△FRE≌△DME≌△ENP，
∴FE=DE=EP，
又∵DE⊥FP，
∴DF与DP的关系为相等且垂直．
分析：（1）由正方形的性质和已知条件可以求出∠BCD=∠DEG=90°，可以得出∠2=∠3，由AB∥CD可以得出∠1=∠3，从而可以得出结论．
（2）过点F作FP垂直于DC，垂足为P，在正方形中易证PF=DC，再证△FPG≌△DCH可证 DH=FG．
（3）因为正方形的四个边相等，四个角都是直角，所以很容易证明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，从而DF与DP的关系为相等且垂直．
点评：本题考查了正方形的性质，四边相等，四个角是直角，以及全等三角形的判定和性质等．