Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，D是上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．
（1）求证：∠ADB=∠CDE；
（2）若AF=DC=6，AB=10，求△DBC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=∠ADB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠ABC，
∴∠ADB=∠CDE；

（2）解：作AM⊥CD于点M，
∵AB=10，AF=6，
∴BF=8，
∵AD平分∠BDM，AM=AF=6，
∴△ACM≌△ABF，
∴CM=BF=8，
∴DF=DM=CM-CD=2．
∴BD=BF+DF=10=AB．
∴∠BAD=∠ADB=∠ADM，
∴S_△DBC=S_△ADC=CD×AM=18．
分析：（1）根据AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC，从而得出答案；
（2）作AM⊥CD于点M，根据题意可得出BF，还可证明△ACM≌△ABF，从而可得出△DBC的面积．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．