Question

18．如图，抛物线y=ax²-4与x轴相交于A（-3，0）、B，与y轴相交于点C．以点C为圆心，CA长为半径画⊙C，⊙C与y轴的正半轴相交于点D．
（1）a=$\frac{4}{9}$，点D坐标为（0，1）；
（2）过点B作直线y=$\frac{1}{3}$x+b与抛物线相交于点E（-$\frac{9}{4}$，m），连接BD，OE．
①若点P在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△BOE相似，求点P的坐标；
②若点Q在$\widehat{AB}$与x轴下方的抛物线所组成的图形上，求△BQE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出a的值，求出CD、OC的长即可求出点D坐标．
（2）①分两种情形讨论即可：当$\frac{PB}{BE}$=$\frac{BD}{OB}$时，△PBD∽△EBO；当$\frac{P′B}{OB}$=$\frac{BD}{EB}$时，△P′BD∽△OBE，分别列出方程即可解决问题．
②分两种情形讨论即可：如图2中，当Q在AB弧上时，CQ⊥EB时，△QEB的面积最大，设CQ与EB的交点为J．当Q′在直线BE的下方时，作Q′K∥CD，交EB于K，设Q′（m，$\frac{4}{9}$m²-4），则K（m，$\frac{1}{3}$m，-1），KQ′=-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3，构建二次函数利用二次函数的性质，求出最大值，即可判定．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y=ax²-4，得0=9a-4，
∴a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{9}$x²-4，
∴C（0，-4），∵A（-3，0），
∴OA=3，OC=4，AC=CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OD=CD-OC=1，
∴D（0，1），
故答案为$\frac{4}{9}$，（0，1）

（2）①如图1中，连接BD．

∵点E（-$\frac{9}{4}$，m）在抛物线上，
∴m=$\frac{9}{4}$-4=-$\frac{7}{4}$，
∴点E（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{7}{4}$），把点E坐标代入y=$\frac{1}{3}$x+b得b=-1，
∴BE=$\sqrt{（\frac{21}{4}）^{2}+（\frac{7}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{4}$$\sqrt{10}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴直线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，它与y轴的交点坐标K（0，-1），
∵D（0，1），
∴OD=OK，
∴∠DNA=∠OBE，
当$\frac{PB}{BE}$=$\frac{BD}{OB}$时，△PBD∽△EBO，
∴$\frac{PB}{\frac{7}{4}\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴PB=$\frac{35}{6}$，
∴OP=$\frac{35}{6}$-3=$\frac{17}{6}$，
∴P（-$\frac{17}{6}$，0）．
当$\frac{P′B}{OB}$=$\frac{BD}{EB}$时，△P′BD∽△OBE，
∴$\frac{P′B}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{7}{4}\sqrt{10}}$，
∴P′B=$\frac{12}{7}$，
∴OP′=3-$\frac{12}{7}$=$\frac{9}{7}$，
∴P′（$\frac{9}{7}$，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（-$\frac{17}{6}$，0）或（$\frac{9}{7}$，0）．

②如图2中，当Q在AB弧上时，CQ⊥EB时，△QEB的面积最大，设CQ与EB的交点为J．

∵直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，CQ⊥BE，
∴直线CQ的解析式为y=-3x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-4}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{10}}\\{y=-\frac{13}{10}}\end{array}\right.$，
∴点J坐标（-$\frac{9}{10}$，-$\frac{13}{9}$），
∴CJ=$\sqrt{（\frac{9}{10}）^{2}+（-4+\frac{13}{10}）^{2}}$=$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$，
∴JQ=5-$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$，
∴△QEB的面积最大值=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{4}$$\sqrt{10}$（5-$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$）=$\frac{35\sqrt{10}}{8}$-$\frac{63}{8}$．
当Q′在直线BE的下方时，作Q′K∥CD，交EB于K，设Q′（m，$\frac{4}{9}$m²-4），则K（m，$\frac{1}{3}$m，-1），KQ′=-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3，
∴S_△EBQ′=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3）•（3+$\frac{9}{4}$）=-$\frac{7}{6}$（m-$\frac{3}{8}$）²+$\frac{1029}{128}$，
∴m=$\frac{3}{8}$时，△EBQ′的面积的最大值为$\frac{1029}{128}$，
∵$\frac{1029}{128}$＞$\frac{35\sqrt{10}}{8}$-$\frac{63}{8}$，
∴△BEQ的面积的最大值为$\frac{1029}{128}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、圆的有关知识、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．