Question

15．如图，AB、CD、BD都与⊙O相切，AB∥CD，OB=2，OD=3，则BD=$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根据切线长定理得到OB平分∠ABD，OD平分∠BDC，即∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠ODB=$\frac{1}{2}$∠BDC，再由平行线的性质得∠ABD+∠BDC=180°，所以∠OBD+∠ODB=90°，于是可判断△OBD为直角三角形，然后根据勾股定理可计算出BD．

解答 解：∵AB、CD、BD都与⊙O相切，
∴OB平分∠ABD，OD平分∠BDC，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠ODB=$\frac{1}{2}$∠BDC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠OBD+∠ODB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠BOD=90°，
在Rt△BOD中，BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和平行线的性质．解决本题的关键是证明△OBD为直角三角形．