Question

20．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C．若OA=6，AC=8，则cos∠D=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先连接AE，由OC⊥AD，∠BED=∠C，易证得∠OAC=90°，然后由OA=6，AC=8，求得OC，AF的长，再由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得，DE=AE，DF=AF，继而求得答案．

解答 解：如图，连接AE，
∵∠BAD=∠DEB，
而∠BED=∠C，
∴∠C=∠BAD，
∵OC⊥AD，
∴∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，即∠CAB=90°，
∵OA=6，AC=8，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴AF=$\frac{OA•AC}{OC}$=$\frac{24}{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴EF=OE-OF=6-$\frac{18}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AFE中，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵OA⊥AD，
∴AF=DF=$\frac{24}{5}$，
∴AE=DE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠D=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．