Question

如图，△ADE为正三角形，四边形ABCD为正方形，AD=，则过B、C、E三点的圆的直径为________．

Answer 1

4
分析：连接BE、CE，易知△BCE是等腰三角形，那么它的外接圆圆心必在BC的垂直平分线上；设此中垂线与BC的交点为F，△BCE的外接圆圆心为O，连接OB、OC，易证得∠OEC=∠OCE=∠DCE=∠DEC=15°，因此四边形OCDE是平行四边形；而OC=OE、CD=DE，那么四边形OCDE是菱形，因此△BCE的外接圆半径即为AD的长，由此得到它的外接圆直径．
解答：解：连接EF，过E作EF⊥BC于E；
易知DE=DC=2，∠EDC=90°+60°=150°
∴∠1=∠2=15°；
同理，∠3=∠4=15°；
易证得△ABE≌△DCE，得BE=CE；
则∠5=∠6=∠BEC=15°；
设△BCE的外心为O，则O必在线段EF上；
连接OC，则∠5=∠7=15°，
∴∠7=∠2=15°，得OC∥DE；
又∵OE∥CD，且OC=OE，
∴四边形OCDE是菱形，即OC=OE=CD=2，
故过B、C、E三点的圆的直径为4．
点评：此题主要考查了正方形、等边三角形的性质，菱形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆等相关知识；能够判断出所求圆的直径同AD的值相同是解决此题的关键．