Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．
（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）请猜想点P在边AC的什么位置上，试用这个结论，若三角形ABC的边AC上的高为1，求MP+NP的最短长度．

Answer 1

解：（1）如图所示，点P即为所求；

（2）P是AC的中点．
连接PM，BP，
∵AB=BC，P是AC的中点，
∴BP为AC边上的高，BP=1，
∴∠APB=90°．
∵∠B=120°，
∴∠BAP=30°，
∴AB=2BP=2×1=2，
又∵M是AB的中点，
∴PM=AB=×2=1，
同理PN=1，
∴PM+PN=2．
分析：（1）以点M为圆心，以任意长为半径画弧与AC相交于两点，再以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，相交于一点，过这点与M作直线与AC相交于点O，再截取OM′=OM，然后连接M′N与AC相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，点P即为使MP+NP最短的点；
（2）根据等腰三角形的对称性猜测点P是AC的中点；连接PM、BP，根据等腰三角形三线合一的性质可得BP是AC边上的高，再求出∠A=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BP，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=AB，同理求出PN，相加即可得解．
点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，利用轴对称确定最短路线问题的方法需熟练掌握并灵活运用，熟记各性质是解题的关键．