Question

10．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，-3），E（-3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点C（4，-3）坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$即可求出k，C（4，-3），E（-3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题．
（2）先求出点A坐标，根据S_△COE=S_△AOE+S_△AOC计算即可．
（3）分三种情形①当CM=OC时，可得M₁（8，0）．②当OC=OM时，可得M₂（5，0），M₃（-5，0）．②当MC=MO时，设M₄（x，0），则有x²=（x-4）²+3²，解方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C（4，-3），
∴-3=$\frac{k}{4}$，
∴k=-12，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$，
∵y=ax+b的图象经过C（4，-3），E（-3，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=-3}\\{-3a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x+1．

  （2）∵一次函数的解析式为y=-x+1与y轴交于点A（0，1）
∴S_△COE=S_△AOE+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5．

（3）如图，∵C（4，-3），
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，

①当CM=OC时，可得M₁（8，0）．
②当OC=OM时，可得M₂（5，0），M₃（-5，0）．
②当MC=MO时，设M₄（x，0），则有x²=（x-4）²+3²，
解得x=$\frac{25}{8}$，
∴M₄（$\frac{25}{8}$，0）．
综上所述，点M坐标为M₁（8，0）或M₂（5，0）或M₃（-5，0）或M₄（$\frac{25}{8}$，0）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．