Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．

Answer 1

分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．

解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠B=∠CAB=

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（180°-∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，
∴∠B=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中，
∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴AE=AB．
∵AE=AC+CE=AC+CD，
∴AB=AC+CD．

证法二：如答图所示，在AB上
截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90，CD=ED，
又∵AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．