Question

如图15，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=, 动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，

（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；

（2）当GF运动到△ABC外时， EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的？

（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．

Answer 1

过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．

∵AB=10，sinB=，∴AM= AB sinB= 6，

∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,

∴，即，

   ∴DE=t，AN=t，MN=6﹣t，

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图①，

DE=DG=MN，即t=6﹣t，∴t=，

∴当t=时，正方形DEFG的边GF在BC上．

(2) 当GF运动到△ABC外时，如图②，

   S_△CEP+ S_△BDQ=

               =

    S_△ABC=

    令，

解得t₁=15（舍去），t₂=5，

    ∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的．…………8分

（3）分两种情况：

①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图14，

S=DE²=(t)²=t²，此时t的范围是0≤t≤，

   当t=时，S的最大值为16．

②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，

如图②，S=DE•MN=t(6﹣t)=﹣t²+t，此时t

的范围是<t≤10，

  ∵﹣<0，∴ 当t=5时，S的最大值为18，

∵18>16，∴S的最大值为18．