Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．
（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若$\widehat{DE}$=$\widehat{DB}$，求证：AB是⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若AB=13，BC=10，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）作AB与BD的垂线，交于点O，点O就是△ABD的外心，⊙O交线段AC于点E；
（2）连结DE，根据圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，即可得到AD是等腰三角形ABC底边上的高线，从而证明AB是⊙O的直径；
（3）连结BE，根据勾股定理得到关于AE的方程，解方程即可求解．

解答 （1）解：如图，⊙O即为所求；

（2）证明：∵过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=CD，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DB}$，
∴DE=BD，
∴CD=BD，
∴AD⊥BC，
∴AB是⊙O的直径；

（3）解：连结BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
由勾股定理可得，AB²-AE²=BC²-（AC-AE）²，即13²-AE²=10²-（13-AE）²，
解得AE=$\frac{119}{13}$．
故AE的长是$\frac{119}{13}$．

点评 此题考查的是作图-复杂作图，线段垂直平分线的作法，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想的应用．