Question

（2011•德宏州）2003年10月15日，“神州”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成并轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图①，当飞船A运行到地球表面B点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上的最远点C在⊙O₁上，且点A与⊙O₁在同一圆锥上（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留4个有效数字）
（1）求飞船A与最远点C之间的距离；
（2）求⊙O₁的周长；
（3）求该圆锥的侧面积．

Answer 1

分析：（1）根据AC是⊙O 的切线，△AOC是直角三角形，OA=AB+BO=6400+350=6750（km），利用勾股定理求出AC的长；即为飞船A与最远点C之间的距离；
（2）连接O₁C．在Rt△AOC中，利用面积不变性求出O₁C的长；
（3）根据圆锥侧面积为扇形，用扇形面积公式解答．

解答：解：（1）在图①中，AC是⊙O 的切线，△AOC是直角三角形，OA=AB+BO=6400+350=6750（km），
AC=

OA2-OC2

=

67502-64002

=2145（km）．
所以，飞船A与最远点C之间的距离约为2145（km）．
（2）在图②中，连接O₁C．
在Rt△AOC中，S_Rt△AOC=

1

2

OA•O₁C=

1

2

OC•AC，
即

1

2

×6750•O₁C=

1

2

×6400×2145，
解得O₁C≈2034（ km）．
C_⊙O1=2×3.14×2034≈1.278×10⁴，
所以，⊙的周长约为1.278×10⁴．                  
（3）S_侧=

1

2

×（1.278×10⁴）×2145≈1.371×10⁷（km²）．
所以，该圆锥的侧面积约为1.371×10⁷km²．

点评：本题考查了圆的相关运算，作出辅助线，利用勾股定理、扇形的面积公式等是解题的关键．