Question

将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n°（0＜n＜90），得正方形AB₁C₁D₁，B₁C₁交CD于点E．
（1）求证：B₁E=DE；
（2）简要说明四边形AB₁ED存在一个内切圆；
（3）若n=30（度），AB=，求四边形AB₁ED内切圆的半径r．

Answer 1

解：（1）连接AE，
由旋转的性质可知在AD=AB₁，
Rt△AED与Rt△AEB₁中，AE=AE，AD=AB₁，
∴Rt△AED≌Rt△AEB₁，
故B₁E=DE．

（2）由（1）可知，Rt△AED≌Rt△AEB₁，
∴EB₁+AD=ED+AB₁，
故四边形AB₁ED存在一个内切圆．

（3）作∠DAF与∠AB₁G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB₁，
则∠OAF=n=30°，∠AB₁O=45°，
故B₁F=OF=OA，
设B₁F=x，则AF=-x，
故（-x）²+x²=（2x）²，
解得x=或x=（舍去）．
分析：（1）根据旋转的性质及三角形全等的性质，即可得出结论．
（2）根据（1）的结论及由四边形有内切圆时应满足的条件，可判断出四边形AB₁ED存在一个内切圆．
（3）由（2）可知，四边形AB₁ED存在一个内切圆，所以此圆的圆心一定在四个角平分线的交点上，作∠DAF与∠AB₁G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB₁，n=30°，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．
点评：本题考查的是旋转的性质及园内切四边形成立的条件及性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键．