Question

6．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）在y轴上是否存在点G，使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求抛物线解析式；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定C（0，3），D（4，0），则CD=5，设P（m，-m²+4m+5），则E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0），根据平行线分线段成比例定理，由EF∥OC得到CE：m=5：4，则CE=$\frac{5}{4}$m（0＜m＜5）；
（3）先用m表示PE、PF得到PE=-m²+$\frac{19}{4}$m+2，EF=|-$\frac{3}{4}$x+3|，再利用PE=5EF得到-m²+$\frac{19}{4}$m+2=5|-$\frac{3}{4}$x+3|，然后讨论得到两个关于m的一元二次方程，再解方程求出满足条件的m的值；
（4）作PG∥EC交y轴于G，如图，则四边形PECG为平行四边形，根据菱形的判定，当CE=PE时，四边形PECG为菱形，所以$\frac{5}{4}$m=-m²+$\frac{19}{4}$m+2，然后解方程求出m，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5），即y=-x²+4x+5；
（2）当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，则C（0，3），
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，则D（4，0），
所以CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设P（m，-m²+4m+5），则E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0），
∵EF∥OC，
∴CE：OF=CD：OD，即CE：m=5：4，
∴CE=$\frac{5}{4}$m（0＜m＜5）；
（3）存在．
PE=-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-m²+$\frac{19}{4}$m+2，EF=|-$\frac{3}{4}$x+3|，
∵PE=5EF，
∴-m²+$\frac{19}{4}$m+2=5|-$\frac{3}{4}$x+3|，
当-m²+$\frac{19}{4}$m+2=5（-$\frac{3}{4}$x+3），解得m₁=6.5（舍去），m₂=2，
当-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-5（-$\frac{3}{4}$x+3），解得m₁=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$（舍去），m₂=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$，
综上所述，m的值为2或$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$；
（4）作PG∥EC交y轴于G，如图，
则四边形PECG为平行四边形，
当CE=PE时，四边形PECG为菱形，
即$\frac{5}{4}$m=-m²+$\frac{19}{4}$m+2，解得m₁=$\frac{1}{2}$，m₂=4，
此时P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{27}{4}$）或（4，5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定与性质和平行线分线段成比例定理；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质．