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    （2011•沙坪坝区模拟）如图1，在同一平面内，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC与DF重合，△ABC始终保持不动．
    （1）将△DEF沿CB（EB）方向平移，直到点E与点B重合为止，设平移的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
    （3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）画出图形，分0≤x≤3和3＜x≤6两种情况讨论，①0≤x≤3时，构造梯形JFCH和梯形HGCI，利用相似三角形的性质，表示出HG、JF的长，再根据梯形面积公式求解；②当3＜x≤6时，构造等腰三角形HBG，利用相似三角形的性质，表示出HG的长，再根据三角形面积公式求解；
    （2）由旋转的性质得到△DEF≌△DE′F′，从而得到∠ACE′=∠E′，进而得到CM=ME′，CM=ME′，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出C M=ME′=
    1
    2
    D′E′=
    5
    2
    ；
    （3）分三种情况进行讨论：①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点．
    解答：解：（1）当0≤x≤3时，如图①，作HG⊥FC，
    则
    JF
    AC
    =
    BF
    BC
    ，
    即
    JF
    4
    =
    3-x
    3
    ，
    JF=4-
    4
    3
    x．
    又有，
    HG
    AC
    =
    BG
    BC
    ，
    即
    HG
    4
    =
    3-
    x
    2
    3
    ，
    HG=4-
    2
    3
    x，
    则S梯形JFGH=
    1
    2
    （4-
    4
    3
    x+4-
    2
    3
    x）
    x
    2
    ，
    即y=2S梯形JFGH=-x2+4x，
    当3＜x≤6时，如图②，作HG⊥BE于G，
    则
    HG
    AC
    =
    BG
    BC
    ，
    即
    HG
    4
    =
    3-(x-3)
    2
    3
    ，
    HG=4-
    2
    3
    x，
    则y=
    1
    2
    （6-x）（4-
    2
    3
    x），
    y=
    1
    3
    x2-4x+12    ．

    （2）在Rt△DEF中，∠DFE=90°，
    ∴∠ECE′+∠ACE′=90°，∠EAC+∠E=90°，
    又∵∠ECE′=∠EAC，
    ∴∠ACE′=∠E，
    ∵△DEF旋转得到△DE′F′，
    ∴∠E=∠E′，DE=D′E′，
    ∴∠ACE′=∠E′，
    ∴CM=ME′，
    同理CM=MD′，
    ∴CM=ME′=MD′，
    在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，
    ∴DE=
    		DF2+EF2
    =5    ，
    ∴D′E′=DE=5，
    ∴C M=ME′=
    1
    2
    D′E′=
    5
    2
    ．

    （3）存在．
    ①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；
    在Rt△ABC中，∠ACB=90°
    ∴∠BAC+∠B=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
    又∵AN=NC，
    ∴∠BAC=∠ACN，
    ∴∠B=∠BCN，
    ∴BN=NC，
    又∵AN=NC，
    ∴BN=AN=
    1
    2
    AB=
    5
    2
    ；
    ②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；
    （ⅰ）当点N在线段AB上时，
    ∵AC=4，
    ∴AN=4，
    ∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
    ∴AB=DE=5，
    ∴BN=AB-AN=1；
    （ⅱ）当点N在线段BA的延长线上时，如答图③，
    ∵AN=AC=4，
    ∴BN=AB+AN=9．
    ③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点，过点C作CH⊥AB于H如图④，
    由探究得△ACH∽△ABC，
    ∴
    AH
    AC
    =
    AC
    AB
    ，即
    AH
    4
    =
    4
    5
    ，
    ∴AH=
    16
    5
    ，
    ∵AC=NC，CH⊥AB，
    ∴AH=HN，
    ∴AN=2AH=
    32
    5
    ，
    ∴BN=AN-AB=
    7
    5
    ．
    综上所述，存在这样的点N，使得△ACN为等腰三角形，所求BN的长为1或9或
    5
    2
    或
    7
    5
    ．
    点评：本题考查了相似形综合问题，涉及平移、旋转、勾股定理、相似三角形的性质等诸多内容，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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