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精英家教网如图,已知抛物线y=-3x2-(2c-b)x+a2,其中a、b、c是一个直角三角形的三边的长,且a<b<c,又知这个三角形两锐角的正弦值分别是方程25x2-35x+12=0的两个根.
(1)求a:b:c;
(2)设这条抛物线与x轴的左、右交点分别是M、N,与y轴的交点为T,顶点为P,求△MPT的面积(用只含a的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,如果△MPT的面积为9,问抛物线上是否存在异于点P的点Q,使得△QMT的面积与△MPT的面积相等?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在请说明理由.
分析:(1)由已知可判断c为斜边,解方程得x1=
3
5
,x2=
4
5
,即
a
c
=
3
5
b
c
=
4
5
,可求a:b:c;
(2)过P点作PQ⊥x轴,垂足为Q,用a表示P、M、T三点坐标,根据S△MPT=S△PMQ+S梯形PQOT-S△TMO求面积;
(3)存在.根据已知面积求a的值,确定抛物线解析式及M、T两点坐标,得出直线MT解析式,过P作PQ∥MT,交抛物线于点Q,求直线PQ解析式,与抛物线解析式联立,可求Q点坐标,向下平移直线PQ,可求Q点的另外两个坐标.
解答:解:(1)∵a、b、c是一个直角三角形的三边的长,且a<b<c,∴c为斜边,
解方程25x2-35x+12=0,得x1=
3
5
,x2=
4
5
,即
a
c
=
3
5
b
c
=
4
5

∴a:b:c=3:4:5;

精英家教网(2)过P点作PQ⊥x轴,垂足为Q,由(1)可知b=
4
3
a,c=
5
3
a,
则y=-3x2-(2c-b)x+a2=-3x2-2ax+a2
∴由二次函数的性质,得P(-
a
3
4
3
a2)、M(-a,0)、T(0,a2),
∴S△MPT=S△PMQ+S梯形PQOT-S△TMO
=
1
2
×(-
a
3
+a)×
4
3
a2+
1
2
×(
4
3
a2+a2)×
a
3
-
1
2
×a×a2=
1
3
a3

(3)存在.由已知S△MPT=9,即
1
3
a3=9,解得a=3,∴M(-3,0)、T(0,9),
直线MT解析式为y=3x+9,抛物线解析式为y=-3x2-6x+9,
过P作PQ∥MT,交抛物线于点Q,
精英家教网设直线PQ解析式为y=3x+m,将P(-1,12)代入,得y=3x+15,
联立
y=3x+15
y=-3x2-6x+9
,解得
x=-1
y=12
x=-2
y=9
,∴Q(-2,9),
将直线PQ向下平移12个单位,得y=3x+3,联立
y=3x+3
y=-3x2-6x+9

解得
x=
-3-
17
2
y=
-3-3
17
2
x=
-3+
17
2
y=
-3+3
17
2

∴Q(
-3-
17
2
-3-3
17
2
)或(
-3+
17
2
-3+3
17
2
),
综上所述Q(-2,9)或(
-3-
17
2
-3-3
17
2
)或(
-3+
17
2
-3+3
17
2
).
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求出抛物线解析式,利用割补法求三角形面积,利用平行线求面积相等的三角形顶点坐标.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点精英家教网C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)点Q是直线BC上的一个动点,若△QOB为等腰三角形,请写出此时点Q的坐标.(可直接写出结果)

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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)精英家教网、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标.

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(2013•衡阳)如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=-1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,若△PAB∽△OBC,求点P的坐标.

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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,-4),且与x轴交于A、B(1,0)两点,交y轴于点C;
(1)求此抛物线的解析式;
(2)①当x的取值范围满足条件
-2<x<0
-2<x<0
时,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,求实数m的取值范围;
(3)直线x=t平行于y轴,分别交线段AC于点M、交抛物线于点N,求线段MN的长度的最大值;
(4)若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时,正好也与y轴相切,求点P的坐标.

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