Question

如图，已知⊙A，⊙O₁，⊙O₂两两相切，且都与直线a相切，若⊙A的半径为1，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为x，y（y≥1）．则y与x的函数关系式为

 

．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：设直线a和圆A，圆O₂相切于B，C两点，连接AB，O₂C，过A作AH⊥O₂C，过O₁作O1E⊥AB于E，并反向延长O₁E交O₂C于F，根据相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点、切线的性质和勾股定理即可求出y与x的函数关系式．

解答：解：设直线a和圆A，圆O₂相切于B，C两点，连接AB，O₂C，过A作AH⊥O₂C，过O₁作O1E⊥AB于E，并反向延长O₁E交O₂C于F，
∵⊙A的半径为1，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为x，y（y≥1）．
∴AE=1-x，AO₁=1+x，
在Rt△AEO₁中，EO₁=

AO 1 2-AE

=2

x

，
同理可求得：FO₁=2

xy

，
∴AH=EO₁+O₁F=2

x

+2

xy

，
∵在Rt△AHO₂中，AO₂=1+y，O₂H=y-1，
∴AH=

AO 2 2-O 2H 2

=2

y

，
∴2

x

+2

xy

=2

y

，
∴

y

（1-

x

）=

x

，
∴y=

x

(1- x ) 2

=

x(1+ x )2

1-x

．
故答案为：y=

x(1+ x )2

1-x

．

点评：本题考查了相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点和切线的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出某些线段的长．