Question

如图，在钝角△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，⊙O与BA、CA的延长线分别交于D、E两点，连接AO、BE、DC．
（1）求证：△ABO∽△CBD；
（2）若AB=2AD，且BC=2，求∠ACB的度数．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB=AC，OB=OC，
∴AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°=∠AOB，
∵∠ABO=∠ABO，
∴△ABD∽△CBD．

（2）∵AB=AC=2AD，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DAC=60°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠DAC=30°．
答：∠ACB的度数是30°．
分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠D=∠AOB，证△ABD∽△CBD即可；
（2）根据直径三角形性质求出∠DCA，根据三角形内角和定理求出∠DAC，根据三角形外角性质求出即可．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，含30度角的直角三角形，相似三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．