Question

如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点都不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2
（1）求证：DE=AF；
（2）请判断线段DE与AF有怎样的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∵AF=AE+EF，AF=BF+EF，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴DE=AF；

（2）DE与AF互相垂直．
证明如下：由（1）△ABF≌△DAE，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠2=90°，
∴∠2+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴DE与AF互相垂直．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，再求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=AF；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠BAF，然后求出∠2+∠ADE=90°，再求出∠AED=90°，然后根据垂直的定义解答．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质并求出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．