Question

如图，AC是半圆O的直径，B是半圆上的一点，D是弧AB的中点，连接AB、CB、CD、AD，延长AD交CB的延长线于点E．
（1）求证：CA=CE；
（2）若∠AOB=60°，，求半圆O的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AC是半圆O的直径，
∴∠ADC=90°．
∵D是弧AB的中点，
∴=，
∴∠ACD=∠BCD．
∵在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴CA=CE；

（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°．
∵在△CDE与△ABE中，
，
∴△CDE∽△ABE，
∴DE：BE=CE：AE，
∴DE•AE=BE•CE，
∵△ACD≌△ECD，
∴AD=DE=AE，
∵CE=CA=2OA=2AB，
∴AE•AE=BE•2AB，
∴AE²=4BE•AB．
设AB=x，BE=y，则4xy=AE²=24（2-），
即2xy=12（2-） ①．
在△ABE中，∵∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²，
∴x²+y²=24（2-） ②，
①+②，得x²+y²+2xy=36（2-），
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=3-3 ③，
②-①，得x²+y²-2xy=12（2-），
∵x＞y，
∴x-y=3- ④，
③与④联立，解得，
∴OA=AB=，
∴半圆O的面积π×（）²=3π．
分析：（1）由AC是半圆O的直径得到∠ADC=90°，由D是弧AB的中点得到∠ACD=∠BCD，再利用ASA证明△ACD≌△ECD，根据全等三角形的对应边相等即可得到CA=CE；
（2）先根据有一个角为60°的三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得到AB=OA=OB，∠OAB=60°，再由两角对应相等的两三角形相似得到△CDE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出DE：BE=CE：AE，将DE=AE，CE=2AB代入，得到AE²=4BE•AB，又在△ABE中，运用勾股定理得出AB²+BE²=AE²，将分别代入上面两个式子，求出AB的值，然后根据圆的面积根据即可得出半圆O的面积．
点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形、等边三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的面积及方程思想，综合性较强，有一定难度．