将一副三角尺(在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠B=60°,在Rt△DEF中.∠EDF=90°.∠E=45°)如图①摆放.点D为AB的中点.DE交AC于点P.DF经过点C．(1)求∠ADE的度数,(2)如图②.将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α.此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′.DE′交AC于点M.DF′交BC于点N.试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化?如果不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断

的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出

的值；反之，请说明理由．

考点：旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=

AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得

为定值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，

∠PDM=∠CDN

∠CPD=∠BCD

，
∴△DPM∽△DCN，
∴

，
∵

=tan∠ACD=tan30°=

，
∴

的值不随着α的变化而变化，是定值

．

点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．

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