Question

AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，作PC⊥AB于C，PB交⊙O于D，DC交⊙O于E，EB与PC的延长线交于F，连接AE．上有一动点M，连接PM，AM．
（1）∠AEB的度数是______，根据是______．如果，弦ED=3cm，⊙O的半径为2cm．则cos∠MAB=______．
（2）求证：PC•CF=EC•CD．
（3）若AM交PC于G，△PGM满足什么条件时，PM与⊙O相切？说明理由．

Answer 1

（1）解：90°；直径所对的圆周角是直角；

（2）证明：∵PC⊥AB，
∴∠CPD=90°-∠ABP=90°-∠AED又∠AEB=90°
∴∠CEF=90°-∠AED∴∠CPD=∠CEF
∵∠ECF=∠PCD
∴△ECF∽△PCD
∴
∴PC•CF=EC•CD

（3）解：∠PGM=∠PMG（PG=PM）时，PM与⊙O相切．
连接OM
∵PC⊥AB
∴∠BAM+∠AGC=90°
∵∠AGC=∠PGM=∠PMG
∵∠BAM=∠OMA
∴∠OMA+∠PMG=90°
即OM⊥PM，M在⊙O上
∴PM与⊙O相切．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角；可得∠AEB=90°；根据余弦函数的定义可得cos∠MAB=，代入数据可得答案；
（2）根据题意易得△ECF∽△PCD，可得比例关系，进而可得答案；
（3）要使PM与⊙O相切，只需使OM⊥PM，根据角与角的关系可得当∠PGM=∠PMG或PG=PM时成立．
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定、三角函数的定义与求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．