Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，菱形的边长为6，点E、F分别是边AD，CD上的两个动点（E、F与D不重合）．
（1）若E、F满足AE=DF．
①求证：△BEF是等边三角形；
②设△BEF面积为S，直接写出S的最大值和最小值．
（2）若E、F满足∠BEF=60°，则△BEF是否仍一定为等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①先证明三角形BEF是等腰三角形，再求出一个内角的度数是60°．
②当点E、F分别与点D、C重合时，等边三角形的边最长面积最大，当EF⊥BD时且E．F分别两边的中点时边最小面积也最小．
（2）先判定再证明，只要求出另一个内角的度数就能判定三角形的形状，利用两个等角加相邻的角相等从而求出另一个内角的度数．

解答：解：（1）①证明：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=60° AD=CD
∴△ABC与△BCD是正三角形
∴BD=BC
∵AE=DF
∴DE=CF
在△BDE与△BFC中

PE=CF ∠ADB=∠C BD=BC

∴△BDE≌△BFC
∴BE=BF，∠EBD=∠CBF
∴∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°
∴∠EBF=60°
∴△BEF为等边三角形；
②由①知△BEF为等边三角形，其边长最大值为6，最小值为3

3

，
所以S的最大值是9

3

，最小值为

27

4

3

．

（2）△BEF是等边三角形过E作EG∥DB交AB与点G
可得△AEG是等边三角形
∴AE=AG，∠EGB=120°，∠AEG=60°
∴GB=ED∠EGB=∠EDF
∵∠BEF=60°
∴∠GEB+∠DEF=60°
∵∠DFE+∠DEF=60°
∴∠GEB=∠DEF
∴△EGB≌△FDE
∴BE=EF
∴△BEF是等边三角形．

点评：证明这个题一定要牢记等边三角形的判定条件和等边三角形的性质．依据题意判断使用哪种判定条件．