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对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若b=2
ac
,则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则方程x2-bx+ac=0也一定有两个不等的实数根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2,其中正确的(  )
A、只有①②③B、只有①②④
C、①②③④D、只有③④
分析:判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.④难度较大,用到了求根公式表示x0
解答:解:①若b=2
ac
,方程两边平方得b2=4ac,即b2-4ac=0,所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则b2-4ac>0
方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac=0,所以也一定有两个不等的实数根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac2+bc+c=0成立,
当c≠0时ac+b+1=0成立;当c=0时ac+b+1=0不成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,可得x0=
-b±
b2-4ac
2a

把x0的值代入(2ax0+b)2,可得b2-4ac=(2ax0+b)2
综上所述其中正确的①②④.
故选B
点评:此题主要考查了根的判别式及其应用.尤其是④难度较大,用到了求根公式表示x0,整体代入求b2-4ac=(2ax0+b)2
总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0?方程有两个相等的实数根;
(3)△<0?方程没有实数根.
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  由于a+b+c=0,则c=-a-b

  将c=-a-b代入原方程,得ax2+bx-a-b=0.

  即a(x2-1)+b(x-1)=0,所以(x-1)(ax+a+b)=0

  解得x1=1,x2

请利用上面推导出来的结论,快速求解下列方程:

(1)3x2-5x+2=0,       (2)7x2-4x-3=0,

x1=________,x2=________;  x1=________,x2=________;

(3)13x2+7x-20=0,      (4)x2-(+1)x+=0,

x1=________,x2=________;  x1=________,x2=________;

(5)2004x2-2003x2-1=0,x1=________;x2=________;

(6)(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0(b≠c),

x1=________,x2=________.

(7)请你写出3个一元二次方程,使它们都有一个根是1.

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