Question

如图，⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分
的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：首先连接OB，OC，由⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，易求得∠AOB=60°，又由弦BC∥OA，可得△BOC是等边三角形，且S_△ABC=S_△OBC，则可得S_阴影=S_扇形BOC=

60×π×22

360

=

2π

3

．

解答：解：连接OB，OC，
∵弦BC∥OA，
∴S_△ABC=S_△OBC，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∵⊙O的半径为2，OA=4，
∴sin∠OAB=

OB

OA

=

2

4

=

1

2

，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=90°-∠OAB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴S_阴影=S_扇形BOC=

60×π×22

360

=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．